Rumus Anuitas dan Pembuktiannya
Memahami hubungan anuitas, bunga, angsuran pokok, sisa pinjaman, dan banyak periode melalui penalaran matematis serta barisan geometri.
1. Pengertian Anuitas
Anuitas adalah pembayaran dengan jumlah yang sama pada setiap periode selama masa pembayaran. Dalam pembayaran anuitas, setiap pembayaran terdiri atas dua bagian, yaitu bunga dan angsuran pokok.
Dengan demikian, jumlah pembayaran setiap periode tetap, tetapi komposisi antara bunga dan angsuran pokok berubah.
Pada awal pembayaran, bagian bunga relatif besar sehingga angsuran pokok relatif kecil. Seiring berjalannya waktu, bunga semakin kecil dan angsuran pokok semakin besar.
2. Notasi yang Digunakan
| Simbol | Keterangan |
|---|---|
| A | Besar pembayaran anuitas setiap periode |
| aₙ | Angsuran pokok pada periode ke-n |
| bₙ | Bunga pada periode ke-n |
| M₀ | Pinjaman atau modal awal |
| Mₙ | Sisa pinjaman setelah pembayaran ke-n |
| i | Suku bunga per periode dalam bentuk desimal |
| n | Banyak periode pembayaran |
3. Rumus Angsuran Pokok
Setiap pembayaran anuitas terdiri atas bunga dan angsuran pokok. Secara umum:
Untuk memperoleh angsuran pokok, pindahkan bunga ke ruas kiri:
Artinya, dari pembayaran anuitas yang tetap, sebagian digunakan untuk membayar bunga dan sisanya digunakan untuk mengurangi pokok pinjaman.
4. Rumus Umum Angsuran Pokok aₙ dengan Barisan Geometri
Angsuran pokok pada setiap periode dapat ditunjukkan membentuk barisan geometri.
Langkah 1: Menentukan a₁
Pada periode pertama, bunga dihitung dari pinjaman awal:
Karena:
maka:
Dengan b₁ = iM₀:
Langkah 2: Menentukan a₂
Setelah pembayaran pertama, sisa pinjaman adalah:
Bunga pada periode kedua:
Karena angsuran pokok merupakan anuitas dikurangi bunga:
Dengan melakukan substitusi dan penyederhanaan diperoleh:
Langkah 3: Menentukan a₃
Dengan pola yang sama:
Karena a₂ = a₁(1+i), maka:
Langkah 4: Menemukan Pola
Beberapa suku pertama angsuran pokok adalah:
a₂ = a₁(1 + i)
a₃ = a₁(1 + i)²
a₄ = a₁(1 + i)³
⋮
aₙ = a₁(1 + i)ⁿ⁻¹
Terlihat bahwa setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan faktor yang sama, yaitu 1+i. Dengan demikian, angsuran pokok membentuk barisan geometri.
Karena:
maka rumus tersebut dapat dituliskan dalam bentuk:
5. Rumus Sisa Pinjaman Mₙ
Sisa pinjaman setelah pembayaran ke-n diperoleh dari sisa pinjaman sebelumnya dikurangi angsuran pokok periode ke-n.
Dari hubungan bunga dan anuitas:
Substitusikan ke dalam persamaan sisa pinjaman:
Menelusuri Polanya
Untuk periode pertama:
Untuk periode kedua:
Untuk periode ketiga:
Pola tersebut menghasilkan bentuk:
Bagian dalam kurung merupakan jumlah barisan geometri. Setelah penyederhanaan diperoleh:
6. Rumus Bunga
Bunga pada suatu periode dihitung berdasarkan sisa pinjaman pada awal periode tersebut.
Pada periode ke-n, sisa pinjaman pada awal periode adalah Mₙ₋₁. Jika suku bunga per periode adalah i, maka:
Rumus ini menjelaskan mengapa bunga semakin kecil apabila sisa pinjaman semakin kecil.
7. Rumus Anuitas
Pada saat seluruh pinjaman telah lunas, sisa pinjaman menjadi nol. Oleh karena itu:
Gunakan rumus sisa pinjaman:
Pindahkan suku yang memuat A:
Kalikan kedua ruas dengan i:
Sehingga:
Bagi pembilang dan penyebut dengan (1+i)ⁿ:
8. Rumus Banyak Periode
Rumus banyak periode dapat diperoleh dari rumus anuitas.
Kalikan kedua ruas:
Bagi dengan A:
Pindahkan suku:
Karena:
maka:
Ambil logaritma kedua ruas:
Dengan membagi kedua ruas dengan log(1+i), diperoleh:
9. Hubungan Konsep Anuitas
Kelima rumus utama tersebut saling berhubungan. Anuitas A pada setiap periode tetap, sedangkan bagian bunga dan angsuran pokok berubah.
Angsuran pokok bertambah mengikuti pola barisan geometri:
Sementara bunga dihitung berdasarkan sisa pinjaman pada awal periode:
Dengan demikian, semakin kecil sisa pinjaman, semakin kecil bunga yang dibayarkan dan semakin besar bagian anuitas yang digunakan sebagai angsuran pokok.
10. Penalaran Konsep dengan Metode Belajar AMATIRPM
Materi anuitas dapat dipelajari menggunakan Metode Belajar AMATIRPM:
- AMATI — murid mengamati pola perubahan bunga dan angsuran pokok.
- TIRU — murid mengikuti contoh penyusunan perhitungan anuitas.
- REFLEKSI — murid menjelaskan mengapa bunga menurun dan angsuran pokok meningkat.
- PRAKTEK MANDIRI — murid menyelesaikan masalah anuitas secara mandiri dan memeriksa kembali hasilnya.
Dalam anuitas, pembayaran total tetap, tetapi komposisinya berubah. Bagian bunga semakin kecil, sedangkan angsuran pokok semakin besar. Angsuran pokok tersebut membentuk barisan geometri dengan rasio 1+i.
11. Refleksi Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, murid diharapkan mampu menjelaskan bukan hanya cara menggunakan rumus, tetapi juga alasan matematis mengapa rumus tersebut terbentuk.
Pertanyaan refleksi:
- Mengapa pembayaran anuitas tetap setiap periode?
- Mengapa bunga semakin kecil?
- Mengapa angsuran pokok semakin besar?
- Mengapa a₁, a₂, a₃, …, aₙ membentuk barisan geometri?
- Bagaimana hubungan antara anuitas, bunga, angsuran pokok, dan sisa pinjaman?